Przejdź do treści

Edukaina

Tablice Matematyczne

tablice matematyczne wzory karty wzorów

Tablice matematyczne są narzędziem, które zawiera zestaw uporządkowanych informacji matematycznych, takich jak wzory, definicje, tabele, wykresy i inne przydatne dane.

Nasze tablice matematyczne uporządkowane są wg. kolejności tematów jakie możesz znaleźć w podręcznikach nauki matematyki i zawierają takie informacje jak wzory, definicje, tabele, wykresy i inne przydatne dane.

Korzystanie z tablic matematycznych daje uczniom możliwość skupienia się na rozwiązywaniu problemów, zamiast spędzać czas na zapamiętywaniu ogromnej ilości informacji. Mając dostęp do wzorów na tablicach, mogą szybko odnaleźć potrzebne informacje i skoncentrować się na rozumieniu zadań oraz zastosowaniu odpowiednich wzorów. To pozwala im na większą swobodę w eksplorowaniu różnych aspektów matematyki i rozwijaniu umiejętności problemowych.

Tablice matematyczne mogą przydać się uczniom w szkole podstawowej, gdy uczą się podstawowych operacji matematycznych, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Mogą znaleźć w nich wzory na obwód i pole figur geometrycznych, reguły kolejności działań oraz przykłady konwersji jednostek miar. Tablice mogą być również pomocne przy utrwalaniu tabliczki mnożenia czy nauki własności liczb.

W przypadku uczniów szkoły średniej, tablice matematyczne mogą służyć jako wsparcie w bardziej zaawansowanych tematach matematycznych. Mogą zawierać wzory na funkcje matematyczne, definicje pochodnych, własności trygonometryczne, logarytmy, równania czy nierówności. Tablice mogą być używane do szybkiego odnalezienia potrzebnych informacji, jak również jako pomoc w rozwiązywaniu problemów, tworzeniu wykresów czy analizowaniu danych.

DZIAŁ W PRZYGOTOWANIU…..

Tablice matematyczne Szkoła średnia - Wybierz temat >>>

Tablice matematyczne – Szkoła średnia


Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna liczby jest to liczba reprezentująca odległość danej liczby od zera na osi liczbowej, bez względu na jej znak. Oznacza to, że wartość bezwzględna liczby jest zawsze dodatnia lub równa zeru. Matematycznie, wartość bezwzględna liczby x jest oznaczana jako |x|. Przykładowo, wartość bezwzględna liczby -5 wynosi 5, ponieważ -5 jest odległe o 5 jednostek od zera. Wartość bezwzględna jest często używana do porównywania liczb oraz do rozwiązywania równań i nierówności matematycznych.

Potęgi i pierwiastki

Działania na potęgach:
Wzór Przykład
\(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\) \(2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)
\(a^n \div a^m = a^{n-m}\) \(5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25\)
\((a^n)^m = a^{n \cdot m}\) \((3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 = 729\)
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\)
\(a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n\) \(2^{-3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\)
\(a^{n \cdot m} = (a^n)^m\) \(4^{2 \cdot 3} = (4^2)^3 = 16^3 = 4096\)
\((ab)^n = a^n \cdot b^n\) \((2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296\)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\) \(\left(\frac{4}{2}\right)^3 = \frac{4^3}{2^3} = \frac{64}{8} = 8\)
\(a^n \cdot b^n = (ab)^n\) \(3^4 \cdot 2^4 = (3 \cdot 2)^4 = 6^4 = 1296\)
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) \(\sqrt[3]{8^2} = 8^{\frac{2}{3}} = 4\)
Działania na pierwiastkach:
Wzór Przykład
\(\sqrt[n]{0} = 0\) \(\sqrt[3]{0} = 0\)
\(\sqrt[n]{1} = 1\) \(\sqrt[4]{1} = 1\)
\(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\) \(\sqrt[3]{8^2} = 8^{\frac{2}{3}} = 4\)
\(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\) \(\sqrt[4]{5 \cdot 10} = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{10}\)
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) \(\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}\)
\(\sqrt[n]{a^n} = |a|\) \(\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2\)
\(\sqrt{a^2} = |a|\) \(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\)
Potęgi to operacje matematyczne, które umożliwiają podniesienie liczby do określonej potęgi. Potęgowanie polega na mnożeniu liczby przez samą siebie wielokrotnie, zgodnie z wykładnikiem potęgi. Wyrażenie x do potęgi n oznacza, że liczba x jest mnożona przez siebie n razy. Na przykład, 2 do potęgi 3 (oznaczane jako 2³) oznacza mnożenie liczby 2 przez siebie trzykrotnie: 2 * 2 * 2 = 8. W potęgowaniu istnieją również specjalne przypadki, takie jak potęga zerowa (gdzie liczba podniesiona do potęgi zero wynosi 1) oraz potęga pierwsza (gdzie liczba podniesiona do potęgi jeden pozostaje bez zmiany). Potęgi mają szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce, naukach przyrodniczych i innych dziedzinach, umożliwiając wygodne reprezentowanie i manipulowanie liczbami o różnych skalach i złożonościach. Operacją odwrotną do potęgowania jest pierwiastkowanie. Pierwiastek n-tego stopnia z liczby x jest liczbą, która podniesiona do potęgi n daje wartość x. Innymi słowy, pierwiastek informuje nas, jaką liczbę musimy podnieść do potęgi n, aby otrzymać pierwotną wartość x. Pierwiastki mają szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce, inżynierii i innych dziedzinach naukowych, służąc do rozwiązywania równań, wyznaczania długości, obliczania średnich wartości, oraz w tworzeniu modeli i analizie danych. Nasze tablice matematyczne przedstawiają wzory ułatwiające działania na potęgach oraz pierwiastkach. Zauważ, że potęgi i pierwiastki w działaniach rządzą się praktycznie identycznymi prawami, tzn., że niemal każdy wzór dotyczący działania na potęgach będzie miał swój odpowiednik dla działań na pierwiastkach.

Logarytmy

 

 

WzórPrzykład
\(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\)\(\log_2 4 + \log_2 8 = \log_2 (4 \cdot 8) = 5\)
\(\log_a b – \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\)\(\log_5 125 – \log_5 25 = \log_5 \left(\frac{125}{25}\right) = 1\)
\(n \cdot \log_a b = \log_a b^n\)\(2 \cdot \log_3 5 = \log_3 5^2 = 1.364\)
\(\log_a a = 1\)\(\log_{10} 10 = 1\)
\(\log_a 1 = 0\)\(\log_7 1 = 0\)
\(a^{\log_a b} = b\)\(2^{\log_2 8} = 8\)

Logarytmy są matematyczną operacją, która odwraca działanie potęgowania. Logarytm o podstawie a z liczby x (oznaczany jako logₐ(x)) jest tym wykładnikiem, do którego musimy podnieść podstawę a, aby uzyskać wartość x.


\(\log_a b = c\), ponieważ \(a^c = b\),
przykład:  \(\log_3 27 = 3\), ponieważ \(3^3 = 27\)

 

Innymi słowy, logarytm informuje nas, ile razy musimy podnieść liczbę a do potęgi, aby otrzymać x. Logarytmy są używane do rozwiązywania równań eksponencjalnych, skalowania wartości, analizy złożoności algorytmów i wielu innych dziedzin nauki. Są powszechnie stosowane w matematyce, fizyce, informatyce i ekonomii, aby modelować i analizować różnorodne zjawiska i procesy.

Wzory skróconego mnożenia

Wzór Przykład
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) \((3 + 4)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 4^2 = 49\)
\((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) \((5 – 2)^2 = 5^2 – 2 \cdot 5 \cdot 2 + 2^2 = 9\)
\(a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)\) \(7^2 – 3^2 = (7 + 3)(7 – 3) = 40\)
\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) \((2 + 1)^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 1^2 + 1^3 = 27\)
\((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\) \((4 – 2)^3 = 4^3 – 3 \cdot 4^2 \cdot 2 + 3 \cdot 4 \cdot 2^2 – 2^3 = 8\)
Wzory skróconego mnożenia to zestaw reguł matematycznych, które umożliwiają skrócenie i uproszczenie mnożenia pewnych wyrażeń algebraicznych. Są to powszechnie stosowane wzory, które pozwalają na szybkie obliczanie iloczynów i upraszczanie wyrażeń algebraicznych. Wzory skróconego mnożenia są szczególnie przydatne w upraszczaniu wielomianów i rozwiązywaniu równań. Pozwalają na efektywne obliczanie iloczynów i redukowanie złożonych wyrażeń do prostszych postaci. Uczniowie, którzy opanowują wzory skróconego mnożenia, mogą szybko i skutecznie manipulować wielomianami, rozwijać je i skracać, co ułatwia pracę z równaniami i wyrażeniami algebraicznymi. Trudniejsze zadania wymagające zastosowania wzorów skróconego mnożenia, polegają nie tylko na tym, by wiedzieć kiedy i jaki wzór skróconego mnożenia należy zastosować. Takie zadania wymagają by w podanym wielomianie dostrzec, że ma on postać wynikającą z zastosowania już wzoru skróconego mnożenia. Należy to dostrzec i przekształcić wielomian do postaci pierwotnej, sprzed zastosowania wzoru skróconego mnożenia. Zdobycie tej umiejętności, sprawdzanej co roku na maturze, polega na żmudnym i regularnym przerobieniu odpowiednio dużej ilości przykładów o wzrastającym stopniu trudności.

Funkcje

Funkcje mają kluczowe znaczenie zarówno w matematyce, jak i w świecie nauki jako ogół. W matematyce funkcja to reguła, która przyporządkowuje jednoznacznie elementy z jednego zbioru (zwany dziedziną funkcji) do elementów innego zbioru (zwany przeciwdziedziną funkcji). Funkcje pozwalają na opisanie i analizę zależności pomiędzy różnymi wartościami i zjawiskami.

Funkcje mają szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki. W fizyce funkcje są wykorzystywane do opisu ruchu, prawa rządzącego zjawiskami fizycznymi oraz matematycznego modelowania układów. W ekonomii funkcje służą do opisu relacji między zmiennymi ekonomicznymi, prognozowania trendów i analizy rynku. W informatyce funkcje są podstawowymi jednostkami programowania, umożliwiając strukturalne i modułowe podejście do rozwiązywania problemów.

Funkcje są również szeroko stosowane w statystyce, biologii, chemii, psychologii i wielu innych dziedzinach naukowych. Pozwalają na opisywanie, analizowanie i przewidywanie zależności między zmiennymi oraz na modelowanie i symulację różnych procesów i zjawisk.

W ogólnym sensie, funkcje są fundamentalnym narzędziem matematycznym i naukowym, które pomagają w zrozumieniu, opisie i badaniu świata. Są nieodzowne w analizie danych, rozwiązywaniu problemów, tworzeniu modeli, predykcji i podejmowaniu decyzji opartych na logicznych i matematycznych podstawach. Dzięki funkcjom naukowcy i matematycy są w stanie badać, interpretować i wyjaśniać różnorodne zjawiska i procesy, co przyczynia się do postępu naukowego i technologicznego.

Funkcja liniowa

Funkcja kwadratowa

Ciągi

 Arytmetyczny

 Geometryczny

Trygonometria

Planimetria (geometria płaska)

Geometria analityczna

Stereometria (geometria przestrzenna, bryły)

Kombinatoryka

Rachunek prawdopodobieństwa

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych